ФЭНДОМ


Пушка Галуа (англ. Galois Group Gun, нем. Gruppenhaubitze) — артиллерийского орудие алгебраического типа.

Принцип действия Править

Рассмотрим группу G и гомоморфизм $ \varphi:G\longrightarrow C_1\quad \varphi:x\mapsto 1 $, переводящий любой элемент группы G в нейтральный элемент группы C1 (циклическая группа порядка 1). Тогда, согласно определению ядра гомоморфизма, $ \ker\varphi=\left\{x\in G\mid\varphi(x)=1\right\}=G $. Таким образом, любая группа является ядром некоторого гомоморфизма и служит снарядом для Пушки Галуа.

Примечание: для любой группы можно найти нетривиальный гомоморфизм некоторой надгруппы, такой что данная группа является его ядром.

Устройство Править

Общая схема Пушки Галуа слишком сложна и громоздка, однако можно выделить основные компоненты, из которых составляются.

  • Сумматор / умножатор — устройство с двумя входами и одним выходом. На входы подаются элементы группы, на выходе получается элемент группы, называемый соответственно их суммой/произведением. На схемах обозначается как + / *.
  • Нифигатор — устройство, по запросу артиллериста-алгебраиста выдающее элемент группы, называемый нейтральным (ноль/единица), который при подаче на один из входов сумматора/умножатора заставляет последний выдавать на выходе то, что поступило на второй вход. На схемах обозначается как е (или 0 / 1).
  • Обращатор — один вход и один выход, по полученному элементу возвращает элемент, называемый обратным, такой, что при подаче исходного и полученного на сумматор на выходе получается то же, что и на выходе нифигатора. На схемах обозначается как -x / x−1.
  • Подгруппа — общее название для частей снаряда (группы), которые сами по себе являются снарядами (группами) (в общем случае обозначается как $ \leq $).
    • Тривиальная — часть, соединяющая все части снаряда, так как содержится в каждой из них, а именно {e}.
    • Центр — компоненты снаряда, которые можно поменять местами с любой другой частью без изменения функциональности. Обозначается за C(G).
    • Централизатор элемента — компоненты снаряда, которые можно поменять местами с данным. Обозначается за СG(x). Централизатор множества — общая часть централизаторов компонентов данного множества.
    • Нормализатор множества — компоненты снаряда, которые можно поменять местами со всем даннм множеством компонент целиком. Обозначается за NG(x).
    • Нормальная — часть снаряда, которую можно поменять местами с любым элементом. Обозначается на схемах с помощью символа $ \trianglelefteq $.
  • Смежный класс — результат последовательно пропускания через умножатор некоторого подмножества и некоторого элемента. Причём если элементы множества подаются на первый вход, а элемент (всегда один и тот же) на второй, то результат называется левым смежным классом данного множества по данному элементу, в противоположном случае — правым. Обозначаются соответственно за Hx и xH.
  • Индекс — измерительный прибор, подсчитывающий количество смежных классов. Обозначается как |G : H|.
  • Факторизатор — устройство с двумя входами, получающее группу и её нормальную подгруппу и выдающая по ним множество всех правых смежных классов как группу. Обозначается на схемах как G / H.

Классификация Править

гомоморфный образ группы
будь во славу коммунизма
изоморфен фактор-группе
по ядру гомоморфизма
~ народное творчество
Специально обученный алгебраист подаёт на вход некоторую группу и некоторый гомоморфизм (снаряд и порох), которые проходят обработку в специальном факторизаторе, где сначала создаётся ядро гомоморфизма, а затем группа факторизуется по полученному ядру. Результат переходит в дуло пушки, оборудуется специальным навигационным блоком типа $ \overline{\varphi}:x\ker\varphi\mapsto\varphi(x) $ и выстреливается точь-в-точь (1-в-1, биекция) на $ \mathrm{Im}\ \varphi $ по правилу $ \mathrm{Im}\ \varphi\cong G/{\ker\varphi} $.
Noether

Схема Нётеровой мортиры

  • Другой известной вариацией является Нётерова мортира (нем. Noetherscher Isomorphiesatz Mörser). Основным отличием от Коммунистической фактор-пушки является наличие двух параллельных факторизаторов и необходимость в боприпасах специального вида. На вход подаётся группа G, содержащая в себе нормальную подгруппу H и подгруппу F, после разделения H поступает в первый факторизатор, F во второй, кроме того, в первый факторизатор сверху также поступает $ \left\langle F,H \right\rangle $ (порождение Зла F и G, оно же $ FH $), а во второй снизу поступает $ F\cap H $. Также на вход мортире подаётся гомоморфизм $ \varphi:F\longrightarrow FH\longrightarrow FH/H\quad \varphi:f\mapsto fH $, состоящий из вложения и канонической проекции. В таком случае ядром является $ \ker\varphi=F\cap H $, а образом $ \mathrm{Im}\ \varphi=FH/H $, и стрельба осуществляется по правилу $ F/F\cap H\cong FH/H $.
  • Сдвоенное орудие фон Дика (нем. von Dyck Doppelgeschütz) — модификация Коммунистической фактор-пушки, отличающаяся наличием двух последовательных факторизаторов (в отличие от Нётеровой мортиры, где факторизаторы параллельны), и стреляющая по правилу $ \left(G/F\right)/\left(H/F\right)\cong G/H $ (на вход подаются $ F,H\trianglelefteq G\quad F\leq H $).
  • Квадратная фактор-пушка — двухствольная Коммунистическая фактор-пушка. На вход подаются $ H_1\trianglelefteq G_1 $ и $ H_2\trianglelefteq G_1 $, стреляет по правилу $ \left(G_1\times G_2\right)/\left(H_1 \times H_2\right)\cong\left(G_1/H_1\right)\times\left(G_2/H_2\right) $.
  • Мультипликативная Комплексная Плюс-Минус-Один Гаубица (сокр. МК±1Г) — специальная разновидность Коммунистической фактор-пушки, предназначенная для борьбы с империалистическим злом и буржуазными заговорами. Ядром служит группа $ \left\{\pm 1\right\} $, гомоморфизмом служит $ z^2:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}\quad z\mapsto z^2 $. Черпает мнимую силу, и потому не работает, как предполагается. На практике не используется, так как стреляет сама в себя — $ \mathbb{C}^{\star}/\left\{\pm 1\right\}\cong\mathbb{C}^{\star} $

Прочие вариации Править

  • В 1872 году норвежский инженер Людвиг Силов предложил три алгебраических орудия, в основу которых была заложена одна и та же идея. Они получили общее название Силовские p-ушки:
    • Силовский экзистенциональный генератор находит в расположении частей врага произвольную конечную группу (снаряд), после чего внутри неё генерируется снаряд специального вида (называемый Силовским p-подснарядом), который и подрывается, уничтожая боезапас противника.
    • Силовский надгруппатор — модификация экзистенциального генератора, которая все вражеские p-снаряды засовывает в Силовские p-снаряды, которые и подрывает. Также умеет сопрягать Силовские p-снаряды, однако назначение подобной функциональности непонятно.
    • Количественное орудие Силова — не наносит непосредственных повреждений снарядам противника, однако весьма полезно при совместном применении с другими Силовскими орудиями, так как позволяет использовать для полного уничтожения всего один снаряд (по модулю p).