ФЭНДОМ


0=1 (ноль равняется единице; число ноль равняется числу один) — это один из случаев всеобщего равенства. Доказывается многими — похожими и отличающимися — методами.

Метод возведения в степень

Следует обратить внимание, что $ a^0=1 $ (1), однако $ 0^a=0 $ (2). Подставим $ a=0 $. Следовательно формуле (2), $ 0^0=0 $, но, исходя из формулы (1), $ 0^0=1 $. Таким образом, $ 0=1 $, что и требовалось доказать.

Метод степеней единицы

Как известно, $ 1^a=1 $, таким образом, $ 1^1=1^0=1 $. Но, если равны основания степеней и их значения, то равны и показатели, то есть $ 0=1 $, что и требовалось доказать.

Метод умножения

Справедливо равенство $ 0\cdot0=0\cdot1 $. Поделим это выражение на $ 0 $. Получим: $ \frac{0}{0}\cdot0=\frac{0}{0}\cdot1 $, отсюда выходит, что $ 0=1 $.

Упрощённый метод умножения

Дано: $ 0\cdot0=0\cdot1 $. Так как $ 0=0 $, то $ 0=1 $.

Факториальный метод

Обычно факториалы разных чисел имеют разное значение. Однако $ 0!=1 $ и $ 1!=1 $, то есть $ 0!=1! $. Ссылаясь на ранее написанное, можно сказать, что $ 0=1 $.

Метод вынесения множителей

Справедливо равенство $ \frac{4}{4}=\frac{5}{5} $. Вынесем общий множитель: $ 4\cdot\frac{1}{1}=5\cdot\frac{1}{1} $. Сократим: $ 4=5 $. Вычтем 4 и получим искомое равенство.

Метод деления

Допустим, что есть некое равенство $ a-b=0 $. А теперь поделим каждую сторону это равенства на $ a-b $. Получим: $ \frac{a-b}{a-b}=\frac{0}{a-b} $, или $ 1=0 $.

Метод логарифмирования

Согласно формулам, $ log_{a}a=1 $ и $ log_{a}1=0 $. Подставим $ a=1 $. Получим: из первой формулы $ log_{1}1=1 $, но из второй формулы $ log_{1}1=0 $. Это значит, что $ 0=1 $, что требовалось доказать.

Алгебраический метод

Метод, подобный тому, что предложен в статье «Всеобщее равенство». Рассмотрим равенство $ a=b+c $. Умножим обе его части на $ a-b $. Получим: $ a^2-ab=ab+ac-b^2-bc $, то есть $ a^2-ab-ac=ab-b^2-bc $. Разложим на множители, получим $ a(a-b-c)=b(a-b-c) $, сокращаем, получаем $ a=b $. То есть, подставив $ a=1 $, $ b=0 $, получим требуемое равенство. Впрочем, этот метод годится для доказательства равенства всех чисел.

Метод составления уравнения

Возьмём $ x=1 $. Это то же самое, что и $ x-1=0 $. Добавим $ x $, получим: $ 2x-1=x $. Вычитаем единицу: $ 2x-2=x-1 $. Выносим общий множитель за скобку: $ 2(x-1)=x-1 $, и полученное выражение делим на $ x-1 $. Получаем: $ 2=1 $. Вычитая из этого равенства единицу, получаем искомое выражение: $ 1=0 $. Что и следовало доказать.

Иррациональный метод

Докажем сначала, что $ 1=-1 $. Понятно, что $ \sqrt{-1}=\sqrt{-1} $. Представим в левой части равенства $ -1=\frac{-1}{1} $, а в правой $ -1=\frac{1}{-1} $. Получим $ \sqrt {\frac{-1}{1}}=\sqrt {\frac{1}{-1}} $. Известно, что корень из дроби есть корень из числителя делённый на корень из знаменателя. Поэтому $ \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}=\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}} $. По свойству пропорции: $ \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt1\cdot\sqrt1 $. Следовательно, $ -1=1 $. Прибавив к обеим частям равенства $ 1 $ и разделив их на $ 2 $, получим требуемое равенство $ 0=1 $.

Геометрический метод 1

Treug1

Равные треугольники

Рассмотрим два треугольника, представленных на рисунке. Площадь первого треугольника равна $ 60 $ клеточкам, а площадь второго треугольника, составленного из тех же фигур, что и первый треугольник, равна $ 58 $ клеточкам (две чёрные клетки внутри вырезаны). Получается, что $ 58=60 $. Отнимем от обеих частей равенства $ 58 $ и разделим на $ 2 $, получим $ \frac{58-58}{2}=\frac{60-58}{2} $, то есть $ 0=1 $, что и требовалось доказать.

Геометрический метод 2

Докажем сначала, что все треугольники — равносторонние.
Triankg

Чертёж

Рассмотрим произвольный $ \Delta ABC $. Проведем биссектрису угла $ B $ и серединный перпендикуляр к стороне $ AC $; точку их пересечения назовем $ O $. Опустим из нее перпендикуляры $ EO $ и $ OF $ на стороны $ AB $ и $ BC $ соответственно.

Так как $ DO $ одновременно и высота, и медиана $ \Delta AOC $, то он равнобедренный и $ AO=OC $. Так как $ BO $ — биссектриса, то, из равенства $ \Delta EBO $ и $ \Delta OBF $ (откуда $ EB=BF $), $ EO=OF $. Следовательно, $ \Delta AEO=\Delta FCO $, то есть $ AE=FC $. Отсюда, так как $ AB=AE+EB $ и $ BC=BF+FC $, $ AB=BC $. Проведя такое же рассуждение для основания не $ AC $, а, например, $ AB $, получим, что $ BC=CA $.

Из этого следует, что все треугольники на свете — равносторонние.

Теперь рассмотрим прямоугольный $ \Delta ABC $ с гипотенузой $ AB $. По доказанному выше, $ AB=BC=AC=a $, а по теореме Пифагора, $ AB^2=BC^2+AC^2 $. Имеем: $ a^2=2a^2 $ или $ 1=2 $. Отнимем от обеих частей равенства $ 1 $, получим $ 0=1 $, что и требовалось доказать.

Источник — www.absolute.times.lv

Тригонометрический метод 1

$ sin0=sin\pi $, отсюда вытекает, что $ 0=\pi $, $ 0\pi=1\pi $, а это значит, что $ 0=1 $, что и требовалось доказать.

Тригонометрический метод 2

Метод, подобный предыдущему. $ tg0=tg\pi $, значит, $ 0=\pi $, $ 0\pi=1\pi $, и в конце концов $ 0=1 $.

Тригонометрический метод 3

Метод, напоминающий два предыдущих. $ cosec 0=cosec \pi $, таким образом, $ 0=\pi $, или $ 0\pi=1\pi $, откуда вытекает искомое равенство $ 0=1 $.

Тригонометрический метод 4

$ cos\frac{\pi}{2}=cos\frac{3\pi}{2} $, следственно $ \frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2} $, $ 3=2 $, откуда выходит, что $ 0=1 $.

Тригонометрический метод 5

$ ctg\frac{\pi}{2}=ctg\frac{3\pi}{2} $, значит, $ \frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2} $, $ 3=2 $ и $ 0=1 $, что и требовалось доказать.

Тригонометрический метод 6

$ sec\frac{\pi}{2}=sec\frac{3\pi}{2} $, таким образом получаем, что $ \frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2} $, $ 3=2 $, следственно,$ 0=1 $.

Тригонометрический метод 7

$ sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4} $, откуда можно предположить, что $ sin0=cos0 $, значит, $ 0=1 $.

Тригонометрический метод 8

$ sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4} $, следственно, $ sin\frac{\pi}{2}=cos\frac{\pi}{2} $, и, таким образом, $ 0=1 $, что и следовало доказать.

Метод производных

Как известно, $ x'=1 $ при любом $ x $. Но, подставив вместо $ x $ любое число, получаем, что производная становится равной $ 0 $. Следственно, $ 0=1 $.

Метод Шибуршина Вздрюченного, математика XXXVI века до н.э

Во времена Шибуршина Вздрюченного познания математики позволяли только прибавлять и отнимать единицу, но уже тогда имелось доказательство того, что $ 1=-1 $. Доказав это утверждение, мы сможем доказать и то, что $ 1=0 $, для этого достаточно будет прибавить единицу и разделить обе части равенства на два.

Рассмотрим сумму бесконечного ряда $ S=1+1-1+1-1+1-1... $. Представим её в виде $ S=1+(1-1)+(1-1)+(1-1)...=1+0+0+0...=1 $. Теперь представим S теми же слагаемыми, но начиная с последнего. Имеем $ S=-1+1-1+1-1+1-1=-1+(1-1)+(1-1)+(1-1)=-1+0+0+0=-1 $, то есть $ S=1=-1 $, значит $ 1=-1 $, откуда, как доказано выше, вытекает, что $ 1=0 $.

Канадский метод

Метод, предложенный канадскими учёными. Понятно, что $ \frac{-1}{1}=\frac{1}{-1} $. Значит, $ \sqrt {\frac{-1}{1}} = \sqrt {\frac{1}{-1}} $. Таким образом, $ \frac{\sqrt {-1}}{\sqrt1}=\sqrt1\cdot \sqrt {-1} $. Так как $ \sqrt {-1}=i $, запишем равенство следующим образом: $ \frac{i}{1}=\frac{1}{i} $. Разделим обе части на $ 2 $, получим $ \frac{i}{2}=\frac{1}{2i} $. Далее, прибавим к обеим частям равенства выражение $ \frac{3}{2i} $, получим $ \frac{i}{2}+\frac{3}{2i}=\frac{1}{2i}+\frac{3}{2i} $. Теперь умножим обе части на $ i $, получим $ i(\frac{i}{2}+\frac{3}{2i})=i(\frac{1}{2i}+\frac{3}{2i}) $, раскроем скобки: $ \frac{i^2}{2}+\frac{3i}{2i}=\frac{i}{2i}+\frac{3i}{2i} $. Так как $ i^2=-1 $, получаем $ \frac{-1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2} $. Посчитав, получим, что $ 1=2 $, а отняв $ 1 $, найдем требуемое равенство: $ 0=1 $.

Метод сравнения

Возьмем два произвольных положительных равных числа $ a $ и $ b $ и напишем для них следующие очевидные нестрогие неравенства: $ a \ge -b $, $ b \ge -b $. Перемножив оба эти неравенства почленно, получим неравенство $ ab \ge b^2 $, а после его деления на $ b $, что вполне законно, так как по условию $ b>0 $, придем к выводу, что $ a \ge b $

Записав же два других столь же бесспорных неравенства $ a \ge -a $, $ b \ge -a $. Действуя аналогично предыдущему получим, что $ ab \ge a^2 $, а разделив на $ a $ (так как $ a>0 $), придем к неравенству $ b \ge a $.

Итак, $ a \ge b \ge a $, что возможно только при $ a=b $. Если $ a=4 $, $ b=5 $, то получим, что $ 4=5 $, откуда, отняв от обеих частей равенства $ 4 $, получим $ 0=1 $.

Метод деления на ноль

Справедливо выражение $ \frac{a}{a}=1 $, значит $ \frac{0}{0}=1 $, но $ \frac{0}{0}=x $ ($ x $ — любое число). Возможно, $ x=0 $, в таком случае, $ 0=1 $.

Метод очевидного

Очевидно, что $ 0=1 $. Доказано.

Метод смены системы счисления

Возьмем $ 02 $, поменяем систему счисления на двоичную, получим $ 10 $. Значит $ 02=10 $ и в частности $ 0=1 $ и $ 2=0 $.
Проверка: $ 0=1 $. Умножаем на 2.
$ 0=2 $. От смены приравниваемых истинность не меняется, поэтому:
$ 2=0 $. Получили второй результат.
Доказано с двойной точностью.

Индуктивный метод

0 Ничего = 1 Ничему.
0 Копеек = 1 Копейке.
0 Баллов = Колу = 1 Баллу.
0 Микробов = 1 Микробу.

Так как эти частные случаи выполняются, значит, по индукции получаем:
0 чего угодно = 1 чего угодно.
или
$ 0=1 $.

Адедуктивный метод

$ 0=1 $. Умножим обе части на 0. Получим $ 0=0 $, что очевидно верно. Как известно из основ логики, если из нашего утверждения следует верное утверждение, значит оно верно. Доказано.

Юридический метод

Пока еще никто не доказал, что $ 0\ne1 $. Значит, необходимо считать, что $ 0=1 $

Математический метод

В математике все постулируется. Значит, весь вопрос в том, что постулировать — $ 0\ne1 $ или $ 0=1 $. Выбираем $ 0=1 $. Доказано.

Физический метод

Рассмотрим выражение $ 10^{100} = 10^{100} $. Так как $ 10^{100} $ значительно больше 1, то единицей всегда можно пренебречь. Следовательно, прибавив 1, мы существенно ничего не изменим. Получаем $ 10^{100} = 10^{100}+1 $. Отнимем $ 10^{100} $, получим требуемое $ 0 = 1 $.

Общепрограммерский метод

Первый элемент всегда обозначается нулевым индексом. Значит, первый — это нулевой. Отсюда выходит, что один равно нулю, а ноль одному: $ 0=1 $.

Метод С++

См. код: $ a=0 $; $ a=a+1 $. Подставляя $ a $, получаем, что $ 0=1 $, что и требовалось доказать.

Упрощённый метод С++

Возьмём строку из предыдущего метода: $ a=a+1 $. Вычтем $ a $, и получим искомое равенство $ 0=1 $.

Вики-метод

В любом вики-проекте 3 тильды дают только подпись, 5 тильд — только время, а 4 — подпись и время. Отсюда $ 3+5=4 $; $ 8=4 $. Разделим обе части на 4 ($ 2=1 $) и вычтем по единице ($ 1=0 $). По свойству коммутативности $ 0=1 $, что и требовалось доказать.

Метод от противного

Предположим, что $ 0=1 $ — это неверное равенство.
Ну и зачем мы это все столько времени доказывали? Незачем. Противно.
Значит, быть этого не может.
Но факт или есть, или нет. Пришли к противоречию.
Итак, $ 0=1 $ — верное равенство.

Метод для ленивых

Если верить материалам статьи «Всеобщее равенство (математика)», все числа равны между собой и равны $ 0 $, значит, и $ 0=1 $ в частности.

Метод для умных ленивых

Исходя из определения всеобщего равенства, берём числовое равенство $ 2=\sqrt{2} $. Как известно, $ -log_{2}log_{2}2=0 $, а $ -log_{2}log_{2}\sqrt{2}=1 $, следственно, $ 0=1 $, что и требовалось доказать.

Из нольугольника

То, что $ 0=1 $, можно убедится, рассмотрев геометрическую фигуру нольугольник, у которой одна сторона и ноль углов. Учитывая, что в любом многоугольнике каждая сторона ограничена двумя вершинами, то есть углами, и из любого угла выходят две стороны, получаем, что число углов должно быть равно число сторон. То есть $ 0=1 $.

Метод обобщённых цепных дробей

Мы знаем, что $ 1=\frac{2}{3-1} $. Заменим 1 в знаменателе на правую часть данного неравенста и повторим так бесконечное числ раз: $ 1=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac {2}{3-...}}} $

Но проделывая тоже самое с равенством $ 2=\frac{2}{3-2} $, получаем, что $ 2=\frac{2}{3-\frac {2}{3-\frac{2}{3-...}}} $.

Полученные цепные дроби равны, следовательно $ 1=2 $. Вычитая из обоих частей $ 1 $, получаем, что $ 0=1 $. Quod erat emonstrandum.

Очевидно неправильный

Так же называется методом добавления утверждения.

Рассмотрим два утверждения:
1. $ 0=1 $
2. Оба утверждения ложны.

Предположим, что второе утверждение истинно. Тогда первое и второе ложно. Пришли к противоречию. Значит второе ложно и хотя бы одно утверждение из двух истинно.
Мы уже доказали, что второе не может быть истинным, значит истинно первое — $ 0=1 $. Что и требовалось доказать.

Примечание: Название метода — всего лишь дань истории. Не обращайте на него внимания. Современная Сократова математика полностью подтверждает правильность данного метода. Да и как может быть неверным метод, доказывающий то, что уже было доказано 42 раза.

См. также